Intégration : mesure d'ensemble de variations de fonctions
Intégrale d’une fonction en escalier
Définition :
Soit \((a_j\lt b_j)\) une famille finie de points de l'intervalle \([0,1]\) et soit $${{\Bbb 1_{]a_j,b_j[}(x) }}={{\begin{cases}1&\text{si}\quad a_j\lt x\lt b_j\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}}}$$ si \(g(x)=\sum^m_{x=1}\lambda_k\Bbb 1_{]a_j,b_j[}(x)\) une fonction en escalier
Alors l'intégrale de \(g\) est définie par : $$\int^1_0 g(x)\,dx=\sum^m_{k=1} x_k(b_k-a_k)$$
Théorème :
Soit \(f:[0,1]\to{\Bbb R}\) une fonction continue
Alors il existe \(g_k\) une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(f\)
Affirmation (définition de l'intégrale sur \([0,1]\) pour une fonction continue) : $$\int^1_0f(x)\,dx={{\lim_{N\to+\infty}\int^1_0g_N(x)\,dx}}$$
Intégration complexe
Intégrale impropre - Intégrale généralisée
Définition :
Soit \(f:[0,+\infty[\to{\Bbb R}\) une fonction continue
On dit que \(\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est convergente (ou existe) si et seulement si $$\lim_{R\to+\infty}\int^R_0 f(x)\,dx=\int^{+\infty}_0f\quad\text{ existe}$$
On dit que \(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\,dx\) existe si \(\int^0_{-\infty}f(x)\,dx\) et \(\int^{+\infty}_0f(x)\,dx\) existent
Dans ce cas, on a : $${{\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\,dx}}={{\int^0_{-\infty}f(x)\,dx+\int^{+\infty}_0f(x)\,dx}}$$
(Intégrale - Intégration (Relation de Chasles))
Notation :
$${{F(b)-F(a)}}={{\left[F(x)\right]^b_a}}$$
Interprétation géométrique :
Soit \(f\) une fonction définie, continue et positive sur un intervalle \(I=[a,b]\)
Soit \(\mathscr C_f\) sa courbe représentative dans un plan
L'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est l'aire comprise entre \(\mathscr C_f\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=a\) et \(x=b\)
Notation :
On utilise la notation \(\int^b_af(x)dx\) pour décrire cette aire \(\mathscr A\)
Définition :
Les nombres réels \(a\) et \(b\) sont les bornes de l'intégrale
(Continuité, Fonction positive)
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Définition (interprétation géométrique) :
Soit \(f\) une fonction définie, continue et négative sur l'intervalle \([a,b]\), alors l'intégrale \(\int^b_af(x)dx\) est égale à l'opposé de l'aire \(\mathscr A\)
(Fonction négative)
Positivité de l'intégrale : $$\begin{align} f\geqslant0&\implies\int^1_0 f\geqslant0\\ f\geqslant\tilde f&\implies\int^1_0\ f\geqslant\int^1_0\tilde f\end{align}$$
(Positivité)
Linéarité de l'intégrale : $$\int^1_0(\lambda f+\tilde f)=\lambda\int^1_0 f+\int^1_0\tilde f$$
(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Intégration par parties : $$\begin{align}{{\int^1_0 F'}}&={{F(1)-F(0)}}\\ {{\int^1_0 u'v+\int^1_0 uv'}}&={{[uv]^1_0}}\end{align}$$
Proposition :
Si parmi les trois quantités suivantes, $$\int^R_0 u'v,\qquad\int^R_0 uv',\qquad u(R)v(R)$$ deux admettent une limite quand \(R\to+\infty\), alors la troisième admet une limite quand \(R\to+\infty\)
Changement de variable :
Soit \(\varphi:[0,1]\to[a,b]\) de classe \(\mathcal C^1\) telle que \(\varphi(0)=a\) et \(\varphi(1)=b\)
Alors, si \(f\) est continue de \([a,b]\to{\Bbb R}\), $${{\int^b_a f(x)\,dx}}={{\int^1_0 f(\varphi(x))\varphi'(x)}}$$
Relation de Chasles :
$$\int^b_af(t)dt={{\int^c_af(t)dt+\int_c^bf(t)dt}}$$ où \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(c\in[a,b]\)
Formule de Chasles (intégrale) : $$\int^b_af(x)\,dx=\sum^{N-1}_{k=0}\int^{x_{k+1} }_{x_k}f(x)\,dx\quad\text{ avec }\quad x_k=a+k\frac{b-a}N\quad\text{ pour }\quad0\leqslant k\leqslant n$$
On note la valeur approchée de l'intégrale \(J_k^Q(f)\)
Relation de Chasles :
Si \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) et \(\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt\) convergent, alors : $${{\int^{+\infty}_af(t)\,dt}}={{\int^{a'}_af(t)\,dt+\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt}}$$
Relation de Chasles :
Soient \(a'\in[a,+\infty[\)
Alors \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) et \(\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt\) sont de même nature
Corolaire :
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\)
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I_a\), alors $$\int^{ {{a}} }_{ {{a}} }f(t)dt={{0}}$$$\(\int^b_af(t)dt=-{{\int^a_bf(t)dt}}\)$
Propriétés :
1. Si \(f\) est continue et paire sur \([-a,a]\), alors $$\int^{ {{a}}}_{ {{-a}} }f(t)dt={{2\int_0^af(t)dt}}$$
(Fonction paire)
- Si \(f\) est continue et impaire sur \([-a,a]\), alors $$\int^{ {{a}}}_{ {{-a}} }f(t)dt={{0}}$$
(Fonction impaire)
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \([a,b]\)
$$F(x)={{\int_a^xf(t)dt}}$$ est dérivable sur \([a,b]\) et a pour dérivée \(f\), avec \(F(a)=0\)
(Dérivée - Dérivation, Primitive)
Si l'intégrale et la somme convergent uniformément, alors $$\int^1_0\sum^\infty_{n=0} f_n(x)\,dx=\sum^\infty_{n=0}\int^1_0 f_n(x)\,dx$$
(Convergence uniforme (suite de fonctions))
Si une suite de fonctions \((f_n)\) mesurable (continue par morceaux) intégrable sur \(I\) satisfait $$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I\lvert f_n\rvert(x)\,dx\lt \infty$$ et \(\sum f_n\) converge presque partout (simplement) sur \(I\), alors $$\int_I\sum^\infty_{n=0}f_n(x)\,dx=\sum^\infty_{n=0}\int_I f_n(x)\,dx$$
(Mesurabilité, Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions), Propriété vraie presque partout sur un intervalle)
Intégrale impropre - Intégrale généralisée
Intégrale curviligne
Exemple :
Cherchons l'intégrale \(\int^2_1\frac1{t^2}dt\)
$$\begin{align}\int^2_1\frac1{t^2}dt&=\left[\frac{-1}{t}\right]^{2}_1\\ &= -\frac12+\frac11\\ &=\frac12\end{align}$$
Intégrale de Riemann (Exercices)